Artykuł został opublikowany także na witrynie eioba.
Wersja z 2019-05-13

Związki logiczne

3

Część poprzednia Spis treści Część następna

Właściwości związków logicznych

Uwaga o kolejności działań

Operacja negacji ma w logice najwyższy priorytet. A zatem np. zapis p ~q jest równoznaczny zapisowi p (~q) i oznacza, że najpierw należy wykonać działanie ~p, a dopiero później koniunkcję. Na taką właśnie kolejność jasno wskazuje także brak spacji po znaku negacji, dlatego w tego typu sytuacjach na tej witrynie nawiasów się nie stosuje.

W formułach logicznych na ogół przyjmuje się, że koniunkcja (nazywana też iloczynem logicznym) ma wyższy priorytet niż alternatywa. A zatem w wyrażeniu (p q) (p r) można opuścić nawiasy i napisać po prostu p q p r. Niższy priorytet mają dysjunkcja i binegacja, przy czym przez analogię należałoby też przyjąć, że dysjunkcja (będąca negacją koniunkcji) ma wyższy priorytet niż binegacja (negacja alternatywy). Dla uniknięcia dwuznaczności, we wszystkich wzorach umieszczonych na tej witrynie stosuje się jednak nawiasy w takich przypadkach.

Za działania o najniższym priorytecie uważa się ekskluzję, równoważność i implikację. Zamiast (p q) (q p) można więc po prostu napisać p q q p. Z uwagi na czytelność formuł stosuje się jednak i tutaj nawiasy.

Elementy neutralne i odwrotne

Elementami neutralnymi są:

W zapisach tego rodzaju cyfra 1 oznacza dowolne zdanie prawdziwe, cyfra 0 – dowolne zdanie fałszywe.

Właściwości te uwidaczniają wyraźne podobieństwo alternatywy do dodawania (a + 0 = a), zaś koniunkcji do mnożenia (a · 1 = a), stąd ich alternatywne określenia, odpowiednio jako sumy i iloczynu logicznego. Prawdziwa jest także zależność (p 0) 0, analogiczna mnożeniu przez zero (a · 0 = 0). Zależność (p 1) 1 nie znajduje natomiast analogii w działaniach arytmetycznych.

Elementem odwrotnym jest:

Zwrotność

Zwrotność oznacza prawdziwość relacji o obu argumentach takich samych (p R p). Mówiąc nieco inaczej, zwrotne związki logiczne są prawdziwe, gdy oba argumenty mają tę samą wartość logiczną (tj. są prawdziwe dla p = 1 i q = 1 oraz dla p = 0 i q = 0). Przeciwzwrotne (antyzwrotne) są relacje, które są fałszywe, gdy oba argumenty mają tę samą wartość logiczną (niektórzy używają terminu „relacja azwrotna”). Jako „nonzwrotne” określa się relacje, które nie są zwrotne ani przeciwzwrotne. Wprost z tabeli wartości widać, że:

Przemienność

Przemienność, inaczej symetryczność, oznacza niezależność od kolejności zdań połączonych danym związkiem. Koniunkcja, binegacja, alternatywa, dysjunkcja, alternatywa rozłączna i równoważność są przemienne. A zatem np. p q znaczy to samo, co q p, co zapiszemy symbolicznie: (p q) (q p).

Implikacja natomiast nie jest przemienna (ani przeciwprzemienna), więc p q to nie to samo, co q p. Zachodzi natomiast kontrapozycja (transpozycja), co oznacza, że implikacja ekstensywna odpowiada implikacji przeciwstawnej: (p q) (~q ~p), natomiast implikacja intensywna odpowiada implikacji przeciwnej: (q p) (~p ~q). Kontrapozycja stanowi podstawę dowodu nie wprost.

Łączność

Właściwość ta występuje, gdy rozpatrujemy trzy zdania połączone związkiem logicznym, np. Kowalski jest lekarzem i Malinowski jest lekarzem i Nowak jest lekarzem. Nie ma niestety gotowego przepisu na ustalenie wartości logicznej całego zdania tego typu, w zależności od wartości zdań składowych. Możemy więc najpierw ustalić wartość logiczną związku Kowalski jest lekarzem i Malinowski jest lekarzem, a dopiero później wartości logiczne wyniku zestawić ze zdaniem Nowak jest lekarzem. Możemy też najpierw przeanalizować zdanie Malinowski jest lekarzem i Nowak jest lekarzem, a dopiero później zestawić wyniki ze zdaniem Kowalski jest lekarzem. Używając symboli p, q, r powiemy, że zapis p q r można rozumieć albo jako (p q) r, albo też jako p (q r). Akurat w przypadku koniunkcji nie ma to znaczenia, dlatego mówimy, że koniunkcja jest łączna. Podobnie łączne są alternatywa, alternatywa rozłączna i równoważność. Natomiast binegacja, dysjunkcja i implikacja nie są związkami łącznymi. Wartości logiczne związków trzech zdań zebrano w poniższej tabeli:

p q r (p q) r (p ↓ q) ↓ r p ↓ (q ↓ r) (p q) r (p | q) | r p | (q | r) (p q) r (p q) r p (q r)
p (q r)
p (q r) p (q r) (p q) r
p (q r)
1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1
1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0
1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1
1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1
0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1
0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1
0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1
0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1

Rozdzielność

Koniunkcja jest rozdzielna względem alternatywy: (p (q r)) ((p q) (p r)). Właściwość ta przypomina znane z arytmetyki prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania: a · (b + c) = a · b + a · c.

W logice zachodzi również rozdzielność alternatywy względem koniunkcji: (p (q r)) ((p q) (p r)). Właściwość ta nie ma odpowiednika w arytmetyce.

Implikacja jest rozdzielna względem koniunkcji w następniku: (p (q r)) ((p q) (p r)). Prawdziwa jest także następująca rozdzielność: ((p q) r) ((p r) (q r)).

Przechodniość

Relację R nazywamy przechodnią (tranzytywną) wtedy, gdy z prawdziwości związków p R q i q R r wynika prawdziwość związku p R r.

Prawo przechodniości implikacji nazywane jest prawem sylogizmu hipotetycznego.

Alternatywa rozłączna jest relacją przeciwprzechodnią (atranzytywną): ((p q) (q r)) ~(p r). Z prawdziwości p R q i q R r wnioskować można w tym przypadku o nieprawdziwości p R r. Innymi słowy, ((p q) (q r)) (p r).

Alternatywa i dysjunkcja nie są relacjami przechodnimi ani przeciwprzechodnimi (są więc nontranzytywne). Z prawdziwości (p q) (q r) nie wynika ani prawdziwość p r, ani fałszywość tej relacji. Podobnie z prawdziwości (p | q) (q | r) nie wynika ani prawdziwość p | r, ani fałszywość tej relacji. Można natomiast wnioskować (z praw rozdzielności): ((p q) (q r)) (q (p r)) oraz ((p | q) (q | r)) (q | (p r)).

Zestawienie najważniejszych właściwości związków logicznych

  przemienność łączność przechodniość
kontrapozycja   przeciwprzechodniość
p q (p q) (q p) ((p q) r) (p (q r)) ((p q) (q r)) (p r)
p ↓ q (p ↓ q) (q ↓ p) ((p ↓ q) (q ↓ r)) (p ↓ r)
p q (p q) (q p) ((p q) r) (p (q r))
p | q (p | q) (q | p)
p q (p q) (q p) ((p q) r) (p (q r)) ((p q) (q r)) ~(p r)
p q (p q) (q p) ((p q) r) (p (q r)) ((p q) (q r)) (p r)
p q (p q) (~q ~p) ((p q) (q r)) (p r)

Wnioskowanie z prawdziwości związków

Z prawdziwości jakiegoś związku międzyzdaniowego możemy wywnioskować prawdziwość innych związków. Zachodzą następujące odpowiedniości:

  1. (p q) ((p q) (p q))
  2. (p q) ((p q) (p q))
  3. (p q) ((p q) (p q))
  4. (p ↓ q) ((p | q) (p q))
  5. (p q) ((p q) (p q))
  6. (p q) ((p q) (p | q))

Definiowanie jednych związków przy pomocy innych

Za pomocą binegacji można zdefiniować:

Za pomocą dysjunkcji można zdefiniować:

Dalsze ciekawsze własności związków logicznych

Wśród właściwości związków logicznych na szczególną uwagę zasługują cztery sposoby wnioskowania, będące pochodnymi prawa sylogizmu hipotetycznego ((p q) (q r)) (p r):

Z innych własności należy zwrócić uwagę na następujące (wśród nich wymieniono także kilka wzmiankowanych już wcześniej):

Uwaga. Odczytywanie praw logiki może sprawiać poważne trudności początkującym. I tak, niektóre przedstawione wyżej zapisy symboliczne wydają się z pozoru kłócić z ich sformułowaniem słownym. Tak jednak nie jest. Należy zwłaszcza zwrócić uwagę na sposób odczytywania implikacji stanowiącej esencję danego prawa. Odczytując taką implikację, orzekamy o prawdziwości zarówno poprzednika, jak i następnika, a następnie upraszczamy nasze sformułowanie. Np. zapis p (q p) należy odczytać początkowo: jeżeli zdanie p jest prawdziwe, to jest prawdą, że z dowolnego zdania q wynika zdanie p. Język naturalny pozwala na przestawienie zdań składowych implikacji pod warunkiem zachowania spójnika jeżeli we właściwym miejscu lub przy wyraźnym zaznaczeniu, co wynika z czego, dlatego powiemy: jeżeli zdanie p jest prawdziwe, to zdanie p wynika ze zdania q. Kolejne uproszczenie to zastąpienie zdania warunkowego przydawką: zdanie prawdziwe p wynika z dowolnego zdania q. Na końcu pozbywamy się literowych oznaczeń zdań, nazywając zdanie p po prostu zdaniem prawdziwym, zaś zdanie q innym zdaniem: zdanie prawdziwe wynika z każdego innego zdania.

Prawa logiczne i właściwości związków logicznych są tautologiami. Termin ten oznacza, że pozostają one zawsze prawdziwe, niezależnie od wartości logicznej zdań składowych (p, q, r).

Część poprzednia Spis treści Część następna